Der Anstoß kam von dem Artikel "Stabile Dreierbeziehung: die himmlische Achterbahn" von Dr. Christoph Pöppe in der "Spektrum der Wissenschaft" 11/2000. Mein erstes Ziel war, diese Achterbahn nachzubauen.
Steuerung.
Die Felder "Angle" und "Attract." bestimmen die Form der Orbits. Parameter "Tempo" ändert die Ablaufgeschwindigkeit.
Mit Eingaben von 0 bis 6 im Feld "Variant" können einige vordefinierte Kombinationen der ersten beiden Werte abgerufen werden, die interessante Kurven ergeben.
Die Ergebnisse.
Bei den Varianten 1 und 4 bekommt man den Eindruck, dass sie miteinander verwandt sind - etwa ähnlich, wie Lissajous-Figuren mit verschiedenen Frequenzverhältnissen. Das lässt hoffen, dass es bei anderer Auswahl der Ausgangsbedingungen noch mehrere andere Orbits dieser Familie gibt.
Die Vatianten 2 und 3 bilden eine wenig interessantere Gruppe.
Ein Gruppierungskriterium wäre unter Anderem - ob einzelne Planeten sich in eigenen Bereichen aufhalten (Varianten 1..4 und 6) oder ob in jedem Orbitpunkt jedes Planet zu treffen ist (Varianten 0 und 5).
Es ist erstaunlich, dass bei solch engen Anfangsbedingungen doch noch viele interessante Orbits zu finden sind.
Besonders schön finde ich die Variante 6, das "Schmetterling". Leider sind die schönsten Varianten instabil - so auch die 5.
Zu den Ausgangsbedingungen.
Weil das erste Ziel die Achterbahn war, wurden von Anfang an einige Bedingungen festgeschrieben:
m1 = m2 = m3 = 1
y1 = y2 = y3 = 0
x1 = 0; x3 = -x2
V2 = V3 = -0.5 * V1
Der Ausgangswinkel der V-Vektoren ist variabel, jedoch nicht zwischen den einzelnen V1, V2 und V3. Die absoluten Werte der V sind nicht änderbar, stattdessen ist änderbar die Gravitationskonstante.
Reproduzieren mit anderen Programmen.
Nehmen wir an, Sie wollen die Variante 6 in einem Programm reproduzieren, wo die Gravitationskonstante wirklich konstant ist und die Anfangs-Geschwindigkeiten und -Abstände einstellbar sind. Die Winkel müssen übertragen werden. Die anderen Werte können basierend auf den Werten der Achterbahn ermittelt werden. Angenommen, bei mir ist G0 die Gravitation für die Achterbahn, G1 - für die Variante 6. Dann müssen Sie die Abstände und Geschwindigkeiten, die bei Ihnen die Achterbahn ergeben, um den Faktor (G0 / G1) ^ (1/3) erhöhen. Das Verhältnis kann aus der physikalischen Dimension der Gravitationskonstante abgeleitet werden.
Für die Variante 6: G0 = 1681.7, G1 = 1042.6741, G0 / G1 = 1.61287, ^ (1/3) = 1.17273.
Also wenn ich bei derselben G0 = 1681.7 wie bei der Achterbahn deren Anfangs-Geschwindigkeiten und -Abstände um Faktor 1.17273 vergrößere und die Winkel der Variante 6 eingebe, bekomme ich wieder das Orbit der Variante 6. Natürlich ist danach etwas Tuning erforderlich, weil G0 nicht so genau ist.
Zum Programm.
Das Programm benutzt das klassische Runge-Kutta-Verfahren (Ordnung 4). Kommen sich die Planeten näher, wird der Schritt halbiert (auch mehrmals), beim folgenden Entfernen wird der Schritt wieder verdoppelt. Scharfe Begegnungen berechne ich als parabolisch, als ob die Gravitation des 3. Planet auf die Beide für die Zeit ihrer Annäherung gleich wirkt. Ich nehme an, dass alle 3 Planeten nie gleichzeitig zu eng zusammen kommen.